— Bienvenue chez Réunion Fishing Club. Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale = . {\displaystyle A^{n}} En fait, M est la représentation matricielle d’un endomorphisme dans une base E, et D la représentation de ce même endomorphisme dans une base F. P est donc la matrice de passage de E dans F (voir le chapitre sur les matrices de passage pour plus de précisions). Tu devrais trouver comme polynôme caractéristique : (2 – λ)(λ – 4)2 b MX = 2X. A A est diagonalisable sur ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre λ de A, m(λ) = dim(Eλ). est positive, c'est-à-dire si ses valeurs propres sont toutes positives, il existe une unique matrice symétrique positive dont le carré soit ) Remarque Si A … {\displaystyle P} Il faut donc prendre deux vecteurs LIBRES vérifiant cette équation, par exemple : Il est assez évident que X et Y sont libres. Encore une fois on peut combiner avec les cas particuliers précédents. . a est en effet diagonalisable et a nécessairement les mêmes espaces propres avec des valeurs propres en racine carrée de celles de Si la matrice est de dimension n, il faut donc n vecteurs propres libres afin de constituer la matrice P, et pour cela il faudra concaténer (c’est-à-dire regrouper) les bases de chaque sous-espace propre. On en conclut que si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre est de dimension 1, et comme il faut prendre une base de chaque sous-espace propre on ne prend qu’un seul vecteur propre de chaque sous-espace (celui que l’on veut, le plus simple étant le mieux^^). {\displaystyle a} , c'est-à-dire qu'il existe un scalaire —. Oui mais comment choisir le vecteur propre associée à une valeur propre ? De plus — cf. Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique, Pour calculer les valeurs propres d’une matrice M, il faut calculer ce que l’on appelle le polynôme caractéristique de M. Soit M2M n(K) une matrice carr ee a coe cients dans K, K = R ou Comme ce discriminant est polynomial en les coefficients des matrices, son lieu d'annulation est un fermé. Mathématiquement, on peut donner les définitions suivantes : — c Ce sous-espace propre étant un espace vectoriel, il y a une dimension : dim(Eλi). Les équations différentielles les plus simples sont les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. Comme base il ne faut donc qu’un seul vecteur vérifiant e système, on prend par exemple : A partir de cela, on peut former la matrice diagonale D ainsi que la matrice de passage P à partir des bases trouvées, à savoir les vecteurs X, Y et Z : Comme les deux premiers vecteurs appartiennent à E4, les deux premiers coefficients de D seront 4, et comme le troisième vecteur appartient à E2, le 3ème coefficient de D sera 2 : Le schéma ci-dessous représente la correspondance entre les colonnes de P et les coefficients de D : On aurait très bien pu mettre Z en premier puis X et Y dans P, mais alors l’ordre des coefficients de D aurait changé : Une application de ce résultat concerne les représentations de groupes finis par des groupes de matrices complexes inversibles. Cherchons les valeurs propres de A. {\displaystyle n} a Comme chaque élément du groupe est d'ordre fini, il annule un polynôme de la forme ATTENTION il faut que les coefficients de la matrice soient réels !!! Cas particulier : une seule valeur propre Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices). 1. Une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). —. (x – 3)(x + 7)(x – 4) est scindé à racines simples (et accessoirement, la vérification qu'il s'agit bien d'une solution) sont immédiats car si En particulier, il est donc connexe. À partir de la dimension 2, l'ensemble des matrices diagonalisables sur le corps des réels n'est pas dense comme dans le cas complexe, donc l'ensemble des matrices non diagonalisables n'est pas négligeable pour la mesure de Lebesgue. Pour trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre 4, on résout : M – λ Id correspond à la matrice M avec des – λ sur la diagonale. Nous allons donc étudier le cas où le polynôme est scindé. Or si la multiplicité est égale à la dimension du sous-espace, cela signifie que la somme des dimensions des sous-espaces est égale est égale au degré de P, qui est lui-même égal à la dimension de l’espace total : on retrouve le théorème vu précédemment : une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. X 1 {\displaystyle A} Ce théorème est extrêmement important (voire le plus important du chapitre) car c’est sur lui que va se baser tout le raisonnement sur la diagonalisation ! Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. I La matrice des vecteurs propres Scontient des vecteurs orthonormaux : C’est une matrice orthogonale que l’on notera Qa n d’avoir A= Q Q 1 = Q Q> (c’est leth eor eme spectral). Ce résultat est une conséquence de la caractérisation ci-dessus par les polynômes. Au contraire, un endomorphisme nilpotent non nul ne peut pas être diagonalisable. § « L'application exponentielle » de l'article détaillé — cette solution s'exprime sous la forme Mais c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : Autrement dit, si une matrice M a une unique valeur propre k, et qu’elle n’est pas égale à k Id, alors elle n’est pas diagonalisable. sont non nulles. Une partie des matrices diagonalisables est constituée de celles dont le polynôme caractéristique est à racines simples, c'est-à-dire de discriminant non nul. Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. Mais avant cela, voyons un cas particulier. 3) Si la multiplicité de chaque racine correspond à la dimension du sous-espace propre, alors la matrice est diagonalisable et en regroupant les bases obtenues précédemment on forme la matrice P. On forme ensuite la matrice D comme vu ci-dessus. λ Plusieurs autres propriétés se déduisent directement de la forme diagonale : En revanche, une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé n'est pas forcément diagonalisable, comme dans le cas des matrices nilpotentes non nulles. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la diagonalisation de matrices ! Sinon cela ne marche pas… En revanche, un vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre. {\displaystyle k} Au … a Puissance n -ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3. Il nous reste maintenant à voir comment calculer les valeurs propres, et trouver les vecteurs propres et sous-espaces propres ! Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). En effet, supposons que vecteur X soit associé à deux valeurs propres différentes λ1 et λ2. Eléments ropresp d'un endomorphisme olynôPme caractéristique d'une matrice Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Elle peut être obtenue par exemple à l'aide d'une norme matricielle. En effet, un premier théorème nous dit que : — Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Alors k MX = k λ X Le polynôme minimal de M est donc le produit des facteurs (X-λ), où λ parcourt l'ensemble des coefficients diagonaux de D sans tenir compte de leur éventuelle multiplicité. ⁡ Mais que vaut dans ce cas la matrice D ? Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. Il n’y a donc que 2 valeurs propres pour un espace de dimension 3. Mais quel est le rapport de tout cela avec la diagonalisation ?? Enfin, l'ensemble des matrices diagonalisables est un cône, c'est-à-dire qu'il est stable par multiplication scalaire, donc il est connexe par arcs via la matrice nulle. {\displaystyle A} Montrer que $M$ l'est également. Le cas particulier que nous allons voir se retrouve souvent en exercice, et on demande souvent à le redémontrer. n -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Dans , tous les polynômes sont scindés ! — {\displaystyle MY=\lambda Y} Cette définition comprend à la fois les matrices hermitiennes, les antihermitiennes, les unitaires et en particulier leurs versions réelles : symétriques, antisymétriques et orthogonales. ( D’où λ1X = λ2X, d’où λ1 = λ2, ce qui contredit le fait que λ1 et λ2 soient différentes. En effet, on a la propriété suivante : — {\displaystyle n} Dans le cas général, une analyse plus poussée de la réduction des endomorphismes est nécessaire. Ainsi, 4 est racine double du polynôme caractéristique et dim(E4) = 2, et on a vu que 2 est racine simple avec dim(E2) = 1 : la matrice M est donc diagonalisable ! Une matrice carrée En dimension 2 ou 3, la diagonalisabilité d'une matrice est déterminée par le signe du discriminant de son polynôme caractéristique lorsqu'il est non nul. 6 est racine triple (autrement dit 6 est racine de multiplicité 3 : m(6) = 3) Une fois la dimension trouvée, il ne reste plus qu’à trouver une base, composée d’autant de vecteurs libres que la dimension. ϕ A Il en découle que le polynôme suivant : est également scindé à racines simples et est annulé par {\displaystyle A} Lorsqu'une matrice symétrique A noter que pour bien comprendre ce chapitre, il faut déjà maîtriser les bases des matrices, ce pourquoi tu es vivement encouragé à regarder d’abord les chapitres correspondant. A Par définition, toute matrice semblable à une matrice diagonalisable est également diagonalisable, ce qui peut se traduire pour les endomorphismes par le fait que le conjugué d'un endomorphisme diagonalisable par un automorphisme est également diagonalisable. —. − Si la multiplicité est 1 : pas de problème, la dimension du sous-espace propre est 1 (donc égale à la multiplicité de la valeur propre) + On peut donc dire que le sous-espace propre contient l’ensemble des vecteurs propres ainsi que le vecteur nul. • La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0. X Voyons maintenant comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés. dans le corps des coefficients. En effet, l'ensemble des matrices réelles non diagonalisables sur les réels et dont le polynôme caractéristique est à racines simples sur le corps des complexes forme alors un ouvert non vide. Exemple : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 8. Par conséquent, une matrice est diagonalisable si et seulement si : Le fait que toute puissance d'une matrice diagonalisable soit également diagonalisable admet une réciproque partielle. On calcule le polynôme caractéristique : Un rapide calcul (tu peux t’entraîner à le faire) montrerait que les racines du polynôme sont -1 et 3, donc les valeurs propres de A sont -1 et 3 ! La matrice de passage P dont nous avons parlé précédemment sera en fait constituée de vecteurs propres, et même mieux des vecteurs des bases des sous-espaces propres ! ) 7 est racine de multiplicité 4 : il faut calculer la dimension de E7. Pour les trouver on va utiliser la résolution du système précédent, on avait trouvé z = -x. En effet, si on a une valeur propre λ associée au vecteur propre X, on a : Le vecteur propre et la valeur propre sont reliés par cette égalité. Un endomorphisme d'un espace vectoriel est dit diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres. I Si A2Rn nest sym etrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A= S S 1 avec S; 2Rn n I est la matrice diagonale des valeurs propres (r eelles). est inversible, sa puissance Si M est diagonalisable, que vaut alors la matrice D ?? (puisque k peut être n’importe quel réel non nul, car si k est nul kX = 0 et on a vu que le vecteur nul n’était pas un vecteur propre). an,1 1 C C C A. (avec Comme tu le vois, rien de compliqué, il faut garder le même ordre pour P et pour D : Bien sûr il y a plusieurs possibilités pour P et D : si on change l’ordre des vecteurs de P, on change l’ordre des coefficients diagonaux de D. Tout ce que l’on a vu jusqu’à présent est valable si M a n valeurs propres distinctes. de la matrice {\displaystyle A} Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Mais diagonaliser une matrice, qu’est-ce-que cela signifie ? Si en outre le groupe est abélien, il existe une base dans laquelle toutes les matrices de la représentation sont diagonales. On pose J=D+N où D est diagonale et N est nilpotente: J^n = (D+N)^n. Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut (et il suffit) que la dimension de chaque sous-espace propre soit égale à la multiplicité de la valeur propre : — En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P.Q(D).P-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. On en déduit que Q(M) est nulle si et seulement si tous les coefficients diagonaux de D sont des racines du polynôme Q. Cela peut aussi se dire : si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable (la multiplicité de chaque racine est 1). Parlons maintenant de ce que l’on appelle les éléments propres. est diagonalisable dans une base orthonormale. Ainsi, une valeur propre possède une infinité de vecteurs propres ! En revanche, (λ2 + 2λ + 9)(λ + 5) n’est pas scindé car on ne peut pas factoriser λ2 + 2λ + 9 (en tout cas dans les réels, car son Δ est strictement négatif). Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : admettant au moins une puissance non nulle diagonalisable est diagonalisable également sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Imaginons maintenant que l’on ait une valeur propre λ associée à un vecteur propre X, si on note Id la matrice identité : On en déduit que Ker (M – λ Id) ≠ {0}, donc M – λ Id n’est pas inversible. —, De manière évidente, chaque xi est une racine de P (si on remplace x par xi, un des facteurs sera nul et donc P(xi) sera nul). λ est une valeur propre de M s’il existe un vecteur X non nul tel que MX = λX. Utilisation de la diagonalisabilité ou de la trigonalisabilité : A est diagonalisable. – mettre dans P d’abord Z, puis X et Y et alors D aura sur sa diagonale dans l’ordre 2, 4 et 4. En dimension finie, cette définition signifie que l'endomorphisme est représenté dans cette base par une matrice diagonale, donc que n'importe quelle représentation matricielle de l'endomorphisme est une matrice diagonalisable par changement de base. En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale.Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel.. Ces sous-espaces propres étant des espaces vectoriels, ils ont une dimension, et on peut trouver une base constituée par définition d’autant de vecteurs que la dimension de cet espace. La condition d'inversibilité permet d'exclure les matrices nilpotentes dont une puissance est la matrice nulle qui est diagonalisable. —. Parlons maintenant des sous-espaces propres. . Forums Messages New. Comme on est dans un espace de dimension 3, on sait d’après le cours sur la géométrie dans l’espace qu’il s’agit d’un plan (de vecteur normal (1 ; 0 ; 1)) : c’est donc un espace de dimension 2 ! avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. t —. P Les puissances d'une matrice diagonalisable s'expriment sous la forme = − où la puissance de la diagonale se calcule en élevant simplement chaque coefficient diagonal à la même puissance .. En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P. Q(D).P-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. la matrice T semblable à A sera égale à celle proposée, mais en changeant ses coefficients diagonaux en α. Puissance k ième de matrice. X {\displaystyle P} L'ensemble des matrices à coefficients réels ou complexes (d'une taille fixée) est muni d'une unique topologie séparée compatible avec sa structure d'espace vectoriel. — L’ensemble des valeurs propres d’une matrice est appelé le spectre de la matrice. Il n’y a donc pas d’intérêt à la diagonaliser puisqu’elle est déjà diagonale !!! Le théorème spectral stipule qu'étant données deux formes bilinéaires symétriques sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, si l'une d'entre elles est définie positive, il existe une base orthonormale pour celle-ci qui soit orthogonale pour l'autre. Si tel est le cas, on prend une base de ce sous-espace et les vecteurs de cette base constituent la matrice P. La matrice D n’est donc composée que de λ sur sa diagonale : (retiens bien cette démonstration, elle est facile et peut t’être demandée en exercice…). λ valeur propre de M ⇔ det(M – λ Id) = 0 Prenons par exemple une matrice 3 x 3 notée M. D – le sous-espace propre de 4 est de dimension 1 et celui de 9 de dimension 2 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. Propriétés Si en revanche on prend Z, X, Y comme ordre pour P, on aura – 4, 1 et 2 pour D. Nous verrons plus tard comment calculer les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres associés, mais voyons d’abord certaines propriétés liées à la diagonalisation. – les sous-espaces propres de 4 et 9 sont de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 2 qui n’est pas égal à 3 : la matrice M n’est pas diagonalisable. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. —. Un polynôme est dit scindé s’il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. 5 est racine double : il faut calculer la dimension de E5 —. Cela signifie que : — P(x) = (x – 5)2(x – 7)4(x2 + 2x + 7)(x2 + 3x + 5) Pour trouver ces vecteurs propres, on va tout simplement résoudre un système obtenu grâce à l’égalité MX = λ X. Autrement dit, il existe une base dans laquelle les deux formes sont représentées par des matrices diagonales, la première étant même la matrice identité I. Si les deux formes ont respectivement pour matrice A et B dans une base arbitraire, et pour matrices I et B' dans la base particulière fournie par le théorème, les nouvelles matrices ne sont pas semblables aux anciennes, mais congruentes, via la matrice de passage P (inversible) et sa matrice adjointe P* : Pour démontrer le théorème il suffit de considérer, sur l'espace euclidien ou hermitien défini par la première forme, l'endomorphisme autoadjoint canoniquement associé à la seconde : il existe une base orthonormée (par rapport à la première forme) qui est propre pour cet endomorphisme (donc qui est orthogonale pour la seconde forme). —. Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. Il s’agit d’une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. Mais il arrive que certaines racines soient, doubles, triples, quadruples etc… Un sous-espace propre est un espace vectoriel, il est souvent noté Eλ s’il est associé à la valeur propre λ. Re : Matrice A à la puissance n On peut aussi mettre A à la forme de Jordan J (puisque A pas diagonalisable), alors A^n = P J^n P^-1, P est la matrice de passage. Le choix d'une base de l'espace des matrices permet en outre de définir une mesure de Lebesgue associée. A

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